中心極限定理は、母集団が正規分布でなくても、一定の条件のもとで標本平均の分布が標本数の増加とともに正規分布へ近づくという定理です。
第8章では直感を扱いました。ここでは、標本平均の平均・分散、標準化、前提条件、近似が遅くなる場合まで1級向けに整理します。
1. 標本平均そのものが確率変数になる
同じ母集団から大きさnの標本を繰り返し取ると、標本平均X̄は標本ごとに変わります。したがってX̄にも「標本分布」があります。
2. 標本平均の平均はμ
独立同分布なXiが母平均μを持つとき、E[X̄]=μです。標本平均は母平均を中心にばらつきます。
3. 標本平均の分散はσ²/n
母分散が有限でσ²なら、独立標本に対して Var(X̄)=σ²/n、標準偏差は σ/√n です。これが標本平均の標準誤差です。
4. 標準化するとN(0,1)へ近づく
古典的な形では、Z=√n(X̄−μ)/σ の分布がnの増加とともに標準正規分布N(0,1)へ近づきます。
5. 元の母集団が正規なら近似ではなく正確
Xiが正規分布なら、標本数が小さくてもX̄は正規分布です。中心極限定理による「大標本近似」が必要なのは、主に母集団が非正規の場合です。
6. 「n=30なら必ず正規」はルールではない
30は便利な目安として語られますが、普遍的な境界ではありません。強い歪み、極端な裾、外れ値の多い分布では、より大きなnが必要になることがあります。
7. 独立性が崩れるとσ/√nをそのまま使えない
時系列データの自己相関など、観測値同士が依存すると標本平均の分散がσ²/nにならない場合があります。「データ数が多い」だけで独立性を仮定しません。
8. 中心極限定理は元データを正規分布にしない
正規分布へ近づくのは標本平均の分布です。元データのヒストグラムが正規形になるわけではありません。この混同は工程能力評価で特に危険です。
9. よくある質問（FAQ）
nを4倍にすると標準誤差はどうなりますか？
σ/√nなので1/2になります。精度を2倍にするには、単純には標本数を4倍にする必要があります。
中心極限定理があれば正規性確認は不要ですか？
不要とは言えません。分析対象が個々の測定値か標本平均か、標本数、歪み、依存性などで必要な確認は変わります。
10. 一次情報・関連解説
最終確認：2026年10月1日。
11. まとめ
中心極限定理の本質は、標本平均をμで中心化しσ/√nで尺度化した分布が正規分布へ近づくことです。 「n=30」や「元データが正規になる」という誤解を避け、独立性と分散の前提まで確認します。
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執筆・最終確認：UG。公開情報をもとにQC検定1級相当まで踏み込んで解説しています。
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